Materi Matematika SMP Kelas 1
Pecahan Aljabar
1. Perkalian dan Pembagian
Dalam
materi ini akan membahas tentang perkalian dan pembagian dari bentuk
aljabar untuk perkalian suku bentuk aljabar dan pembagian suku bentuk
aljabar
a. Perkalian suku bentuk aljabar
Bentuk aljabar variabel tidak sejenis jika saling dikalikan hasilnya variabe tersebut.
Contohnya
x x y = xy
3a x 4b = 12ab
4a x 12 b = 48ab
a2 x b2 =a2 b2
3 a2 x 4 b2 = 12 a2 b2
b. PembagianSuku Bentuk Aljabar
Bentuk aljabar variabe tidak sejenis jika saling dibagi hasilnya adalah pembagian variabel tersebut.
Contohnya
Pembagian dalam bentuk umum
2. Penjumlahan dan Pengurangan
Untuk pengerjaan Pengurangan dan penjumlahan harus di kelompokkan terlebih dahulu jenis sukunya.
Contoh
12 a2 + 7 ab + 15 b – 5 a2 - 3ab – 5b
12 a2 – 5 a2 + 7 ab – 3ab + 15 b – 5b
7 a2 + 4 ab +10 b
3. Pangkat
Pangkat aljabar berlaku persamaan sebagai berikut
Materi Matematika SMP Kelas 2
Rumus Phytagoras adalah rumus yang sering di pakai dalam pelajaran matematika di sekolah. Kadang kita di buat bingung dengan rumus pitagoras matematika, bagaimana cara membuktikan kebenarannya? Kurang lebih uraian tentang rumus phytagoras seperti di bawah ini.
Rumus asli phytagoras
Rumus asli phytagoras
Membuktikan kebenarannya, di mulai dengan membuat gambar sebuah persegi besar, kemudian gambarlah sebuah persegi kecil di dalam persegi besar tersebut, seperti gambar berikut:
Perhitungannya :
Luas persegi besar = Luas persegi kecil + 4 Luas segitiga
( b + a ) . ( b + a ) = c . c + 4 . 1/2 b.a
b2 + 2 b.a + a2 = c2 + 2 b.a
b2 + a2 = c2 + 2 b.a - 2 b.a
b2 + a2 = c2
Berdasarkan
rumus tersebut terbukti bahwa sisi miring sebuah segitiga siku - siku
adalah akar dari jumlah kuadrat sisi - sisi yang lain.
3. Materi Matematika SMP Kelas 3
KESEBANGUNAN BANGUN DATAR
Perhatikan Gambar Persegi panjang ABCD dan PQRSmempunyai sisi-sisi yang bersesuaian, yaitu
Panjang sisi kedua persegi panjang tersebut mempunyai perbandingan yang senilai.
Dengan demikian, sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua persegi panjang mempunyai perbandingan yang sama, yaitu
Keempat sudut dari persegi panjang ABCD dan PQRS adalah 90" sehingga kedua persegi panjang tersebut mempunyai sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, yaitu
ﮮ A = ﮮP, ﮮ B = ﮮQ, ﮮC = ﮮ R. dan ﮮ D = ﮮ S
Dapat dikatakan bahrva persegi panjang ABCD sebangun dengan persegi panjang PORS dan ditulis ABCD ~ PQRS.
Dua bangun datar dikatakan sebangun jika memenuhi dua syarat berikut.
- Panjang sisi-sisi yang bersesuaian mempunyai perbandingan yang senilai.
- Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.
Dua Bangun yang Sama dan Sebangun
Perhatikan
dua lembar uang kertas yang nilainya sama. Misalnya Rp.5.000.00. Apakah
uang tersebut panjang dan lebarnya sama?
Coba hitunglah perbandingan dari masing-masing sisi-sisinya. Kamu akan memperoleh nilai perbandingan sisi-sisinya sama dengan 1.
Dari hasil perbandingan di atas diperoleh :
Coba hitunglah perbandingan dari masing-masing sisi-sisinya. Kamu akan memperoleh nilai perbandingan sisi-sisinya sama dengan 1.
Dari hasil perbandingan di atas diperoleh :
- sisi-sisi yang bersesuaian dari uangtersebut sarna panjang.
- sudut-sudut yang bersesuaian dari uang tersebut sama besar (90o).
Jadi,
kedua uang tersebut mempunyai bentuk dan ukuran yang sama.
Bangun-bangun yang mempunyai bentuk dan ukuran yang sama disebut
bangun-bangun yang kongruen, yakni bangun-bangun yang sama dan sebangun.
Bangun-bangun yang kongruen jika diimpitkan akan saling menutupi satu
sama lain.
Dua bangun bersisi lurus dikatakan kongruen jika :
Dua bangun bersisi lurus dikatakan kongruen jika :
- sisi-sisi yang bersesuaian dari bangun tersebut sama panjang:
- sudut-sudut yang bersesuaian dari bangun tersebut sama besar
Menghitung Panjang Salah Satu Sisi yang Belum Diketahui dari Dua Bangun yang Sebangun
Kita
dapat menggunakan sifat dari dua bangun datar yang sebangun. yaitu
perbandingan panjang sisi yang bersesuaian senilai untuk menghitung
panjang salah satu sisi yang belum diketahui dari dua bangun yang
sebangun.
Contoh :
Diketahui dua bangun datar di bawah sebangun. Tentukan nilai x dan y !
Jawab :
Perbandingan sisi yang bersesuaian yang diketahui adalah 21/9 = 7/3 maka sisi yang lain juga harus mempunyai perbandingan yang sama. Nilai x dan y dapat diperoleh dari perbandingan di atas, yaitu :
Jadi, x = 3 cm dan y = 6 cm.
Contoh :
Diketahui dua bangun datar di bawah sebangun. Tentukan nilai x dan y !
Jawab :
Perbandingan sisi yang bersesuaian yang diketahui adalah 21/9 = 7/3 maka sisi yang lain juga harus mempunyai perbandingan yang sama. Nilai x dan y dapat diperoleh dari perbandingan di atas, yaitu :
Jadi, x = 3 cm dan y = 6 cm.
SEGITIGA-SEGITIGA YANG SEBANGUN
Pada
Gambar dibawah tampak dua segitiga, yaitu ∆ ABC dan ∆ DEF. Perbandingan
panjang sisi-sisi yang bersesuaian pada kedua segitiga tersebut adalah
sebagai berikut: 
Dengan demikian, diperoleh : 
Ukurlah sudut-sudut dari kedua segitiga itu dan bandingkan hasil pengukuranmu untuk sudut-sudut yang bersesuaian, yaitu ﮮ A dengan ﮮ D. ﮮ B dengan ﮮ E, dan ﮮ C dengan ﮮF Jika pengukuranmu benar kamu akan memperoleh hasil ﮮ A = ﮮ D ﮮ B = ﮮ E.dan ﮮ C = ﮮ F.
Karena sisi-sisi yang bersesuaian mempunyai perbandingan yang senilai dan sudut yang bersesuaian sama besar maka ∆ ABC dan ∆ DEF sebangun.
Jadi. kesebangunan dua segitiga dapat diketahui cukup dengan menunjukkan bahwa perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian senilai. Lakukan pengukuran panjang sisi-sisi dari kedua segitiga tersebut dan bandingkan hasil pengukuranmu untuk sisi-sisi yang bersesuaian. Karena sisi-sisi yang bersesuaian mempunyai perbandingan yang sama dan sudut yang bersesuaian sama besar Maka ∆ ABC sebangun dengan ∆ DEF. Jadi. kesebangunan dua segitiga dapat diketahui cukup dengan menunjukkan bahwa sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.
Dari uraian di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut.
Dua segitiga dikatakan sebangun jika memenuhi salah satu syarat berikut :
Ukurlah sudut-sudut dari kedua segitiga itu dan bandingkan hasil pengukuranmu untuk sudut-sudut yang bersesuaian, yaitu ﮮ A dengan ﮮ D. ﮮ B dengan ﮮ E, dan ﮮ C dengan ﮮF Jika pengukuranmu benar kamu akan memperoleh hasil ﮮ A = ﮮ D ﮮ B = ﮮ E.dan ﮮ C = ﮮ F.
Karena sisi-sisi yang bersesuaian mempunyai perbandingan yang senilai dan sudut yang bersesuaian sama besar maka ∆ ABC dan ∆ DEF sebangun.
Jadi. kesebangunan dua segitiga dapat diketahui cukup dengan menunjukkan bahwa perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian senilai. Lakukan pengukuran panjang sisi-sisi dari kedua segitiga tersebut dan bandingkan hasil pengukuranmu untuk sisi-sisi yang bersesuaian. Karena sisi-sisi yang bersesuaian mempunyai perbandingan yang sama dan sudut yang bersesuaian sama besar Maka ∆ ABC sebangun dengan ∆ DEF. Jadi. kesebangunan dua segitiga dapat diketahui cukup dengan menunjukkan bahwa sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.
Dari uraian di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut.
Dua segitiga dikatakan sebangun jika memenuhi salah satu syarat berikut :
- Perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian senilai.
- Dua pasang sudut yang bersesuaian yang sama besar.
Kesebangunan Khusus dalam Segitiga Siku-Siku
Dalam
segitiga siku-siku terdapat kesebangunan khusus. Perhatikan gambar di
samping. Pada segitiga siku-siku di bawah.
a AD2 = BD x CD;
b. AB2 = BD x BC;
c. AC2 = CD x CB.
Contoh :
Pada gambar di bawah diketahui AB = 6 cm dan BC. Tentukan
a. AC;
b. AD;
c. BD.
Jawab:
a. AC2 = AB2+BC2
= 62 + 82
= 36+64
= 100
AC = √100 = 10
b. AB2 = AD x AC
62 = AD x 10
36 = AD x l0
AD =36/10
= 3,6 cm
DC = l0 cm - 3,6cm
= 6,4 cm
c. BD2 = AD x DC
= 3,6 x 6,4
= 23,04
BD = √23,04 = 4,8 cm
a AD2 = BD x CD;
b. AB2 = BD x BC;
c. AC2 = CD x CB.
Contoh :
Pada gambar di bawah diketahui AB = 6 cm dan BC. Tentukan
a. AC;
b. AD;
c. BD.
Jawab:
a. AC2 = AB2+BC2
= 62 + 82
= 36+64
= 100
AC = √100 = 10
b. AB2 = AD x AC
62 = AD x 10
36 = AD x l0
AD =36/10
= 3,6 cm
DC = l0 cm - 3,6cm
= 6,4 cm
c. BD2 = AD x DC
= 3,6 x 6,4
= 23,04
BD = √23,04 = 4,8 cm
Menghitung Panjang Salah Satu Sisi yang Belum Diketahui dari Dua Segitiga yang Sebangun
Konsep
kesebangunan dua segitiga dapat digunakan untuk menghitung panjang
salah satu sisi segitiga sebangun yang belum diketahui. Coba perhatikan
contoh berikut! Contoh :
Diketahui ∆ ABC sebangun dengan ∆ DEF. Tentukan EF ?
jawab:
Diketahui ∆ ABC sebangun dengan ∆ DEF. Tentukan EF ?jawab:
Garis-Garis Sejajar pada Sisi Segitiga
Pada
Gambar Dibawah, ∆ ABC dan ∆ DEC sebangun. Berikut akan ditentukan
perbandingan ruas garis dari kedua segitiga tersebut.
Perhatikan Gambar dibawah.
Dari gambar tersebut terlihat bahwa ruas garis .DE // AB sehingga diperoleh
ﮮ ACB = ﮮ DCE (berimpit)
ﮮ CAB = ﮮ CDE (sehadap)
Karena dua sudut yang bersesuaian dari ∆ ABC dan ∆ DEC sama besar maka kedua segitiga itu sebangun. Karena sebansun maka berlaku
Kedua ruas dikalikan (a + d)(c + b) sehingga diperoleh
Contoh:
Dalam ∆ PRT, PT//QS, hitunglah QR dan ST!
Jawab :
Perhatikan Gambar dibawah.
Dari gambar tersebut terlihat bahwa ruas garis .DE // AB sehingga diperoleh
ﮮ ACB = ﮮ DCE (berimpit)
ﮮ CAB = ﮮ CDE (sehadap)
Karena dua sudut yang bersesuaian dari ∆ ABC dan ∆ DEC sama besar maka kedua segitiga itu sebangun. Karena sebansun maka berlaku
Kedua ruas dikalikan (a + d)(c + b) sehingga diperoleh
Contoh:
Dalam ∆ PRT, PT//QS, hitunglah QR dan ST! Jawab :
Menyelesaikan Soal Cerita yang Berkaitan dengan Kesebangunan
Konsep
dan sifat-sifat kesebangunan dapat digunakan untuk menyelesaikan
masalah-masalah atau soal cerita yang berkaitan dengan kesebangunan.
Untuk menyelesaikan soal cerita dapat dibantu dengan membuat sketsa atau
gambar. Dari gambar itu, baru
diselesaikan.
Contoh:
Sebuah kawat baja dipancangkan untuk menahan sebuah tiang listrik yang berdiri tegak lurus. Sebuah tongkat didirikan tegak lurus sehingga ujung atas tongkat menyentuh kawat. Diketahui panjang tongkat 2 m, jarak tongkat ke ujung bawah kawat 3 m dan jarak tiang listrik ke tongkat 6 m. Berapa tinggi tiang listrik?
Jawab:
Misalnya, tinggi tiang listrik adalah t sehingga diperoleh perbandingan sebagai berikut.
Jadi, tinggi listrik adalah 6 cm.
diselesaikan.
Contoh:
Sebuah kawat baja dipancangkan untuk menahan sebuah tiang listrik yang berdiri tegak lurus. Sebuah tongkat didirikan tegak lurus sehingga ujung atas tongkat menyentuh kawat. Diketahui panjang tongkat 2 m, jarak tongkat ke ujung bawah kawat 3 m dan jarak tiang listrik ke tongkat 6 m. Berapa tinggi tiang listrik?
Jawab:
Misalnya, tinggi tiang listrik adalah t sehingga diperoleh perbandingan sebagai berikut.
Jadi, tinggi listrik adalah 6 cm.
Segitiga-Segitiga yang Kongruen
Pengubinan pada lantai yang telah kita kenal dapat digunakan untuk memahami pengertian kongruen. Pola pengubinan yang kita gunakan adalah pengubinan bangun segitiga. Perhatikan Gambar disamping Jika dilakukan pergeseran atau pemutaran terhadap salah satu ubin maka segitiga tersebut akan menempati ubin yang lain dengan tepat. Keadaan tersebut menunjukkan bahwa ubin yang satu dengan ubin yang lain mempunyai bentuk sama (sebangun) dan mempunyai ukuran yang sama. Segitiga-segitiga yang mempunyai bentuk dan ukuran yang sama disebut segitiga-segitiga yang kongruen (sama dan sebangun).
Sifat-Sifat Dua Segitiga yang Kongruen
Untuk dapat memahami sifat-sifat dua segitiga yang kongruen, perhatikan Gambar diatas ini. Karena segitiga-segitiga yang kongruen mempunyai bentuk dan ukuran yang sama maka masing-masing segitiga jika diimpitkan akan tepat saling menutupi satu sama lain.
Gambar di samping menunjukkan ∆, PQT dan ∆ QRS kongruen. Perhatikan panjang sisi-sisinya. Tampak bahwa PQ = QR, QT = RS. dan QS = PT sehingga sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua segitiga sama panjang.
Selanjutnya, perhatikan besar sudut-sudutnya. Tampak bahwa ﮮ TPQ = ﮮ SQR, ﮮ PQT = ﮮ QRS , dan ﮮ PTQ = ﮮ QSR sehingga sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua segitiga tersebut sama besar.
Dari uraian di atas. dapat disimpulkan sebagai berikut.
Dua buah segitiga dikatakan kongruen jika dan hanya jika memenuhi sifat-sifat berikut.
- Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang.
- Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.
Syarat Dua Segitiga Kongruen
Dua segitiga dikatakan kongruen jika dipenuhi salah satu dari tiga syarat berikut.
- Ketiga pasang sisi yang bersesuaian sama panjang (sisi, sisi, sisi).
- Dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut yang dibentuk oleh sisi-sisi itu sama besar (sisi, sudut, sisi).
- Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi yang menghubungkan kedua titik sudut itu sama panjang (sudut, sisi, sudut).
- Ketiga Pasang Sisi yang Bersesuaian Sama Panjang (Sisi, Sisi, Sisi)
Dua segitiga di bawah ini, yaitu ∆ ABC dan ∆ DEF mempunyai panjang sisi-sisi yang sama.
Perbandingan yang senilai untuk sisi-sisi yang bersesuaian menunjukkan bahwa kedua segitiga tersebut sebangun. Karena sebangun maka sudut-sudut bersesuaian juga sama besar, yaitu ﮮ A= ﮮ D, ﮮ B= ﮮ E,dan ﮮ C= ﮮ F.
Karena sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar maka ∆ ABC dan ∆ DEF kongruen.
Perbandingan yang senilai untuk sisi-sisi yang bersesuaian menunjukkan bahwa kedua segitiga tersebut sebangun. Karena sebangun maka sudut-sudut bersesuaian juga sama besar, yaitu ﮮ A= ﮮ D, ﮮ B= ﮮ E,dan ﮮ C= ﮮ F.
Karena sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar maka ∆ ABC dan ∆ DEF kongruen.
- Dua Sisi.yang Bersesuaian Sama Panjang dan Sudut yang Dibentuk oleh Sisi-Sisi itu Samar Besar (Sisi, Sudut, Sisi)
Pada gambar di atas, diketahui bahwa AB = DE, AC = DF, dan ﮮ CAB = ﮮ EDF. Apakah ∆ ABC dan ∆ DEF kongruen? Jika dua segitiga tersebut diimpitkan maka akan tepat berimpit sehingga diperoleh :
Hal ini berarti ∆ ABC dan ∆ DEF sebangun sehingga diperoleh
ﮮA = ﮮD, ﮮB = ﮮ E, dan ﮮC = ﮮE Karena sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang, maka ∆ ABC dan ∆ DEF kongruen.
- Dua Sudut yang Bersesuaian Sama Besar dan Sisi yang Menghubungkan Kedua Sudut itu Sama Panjang (Sudut, Sisi. Sudut)
Pada gambar di atas, ∆ ABC dan ∆ DEF mempunyai sepasang sisi bersesuaian yang sama panjang dan dua sudut bersesuaian yang sama besar, yaitu AB = DE, ﮮ A = ﮮ D. Dan ﮮB = ﮮE. Karena ﮮA = ﮮD dan ﮮB =ﮮE maka ﮮC = ﮮF. Jadi. ∆ ABC dan ∆ DEF sebangun. Karena sebangun maka sisi-sisi yang bersesuaian rnempunyai perbandingan yang senilai.
Contoh:
Perhatikan gambar layang-layang pada Gambar. Sebutkan pasangan segitiga-segitiga yang kongruen!
Jawab:
Pasangan segi tiga-segi tiga yang kongruen adalah :
∆ AED dengan ∆ ABE:
∆ DEC dengan ∆ BEC:
∆ ACD dengan ∆ ABC.
a) ∆ AED kongruen dengan ∆ ABE
Bukti; Karena ∆ ABD sama kaki dan AE adalah garis bagi maka diperoleh AD = AB (diketahui)
ﮮ DAE = ﮮ BAE
AE = AE (berimpit)
Maka terbukti bahwa ∆ AED kongruen dengan ∆ ABE. (Sisi, Sudut, Sisi)
b) ∆ DEC kongruen dengan ∆ BEC
Bukti; Karena ∆ BCD sama kaki dan CE adalah garis bagi maka diperoleh CD = CB (diketahui)
ﮮ DCE = ﮮ BCE
CE = CE (berimpit)
Jadi. terbukti bahwaA DEC kongruen dengan L ABE. (Sisi. Sudut. Sisi)
∆ ACD konsruen dengan ∆ ABC
Menghitung Panjang Sisi dan Besar Sudut Segitiga-Segitiga kongruen
Dengan
menggunakan sifat-sifat dua segitiga yang kongruen dapat ditentukan
sisi-sisi yang sama panjang dan sudut-sudut yang sama besar.
Contoh:
Diketahui ∆ KNM kongruen dengan ∆ NLM! Panjang KN = 5 cm, KM = l0 cm, ﮮ NKM = 60'. Tentukan panjang sisi dan sudut yang belum diketahui!
Jawab:
Karena ∆ KNM dan ∆ NLM kongruen maka KM = ML = l0 cm dan NL = KN = 5 cm. Dengan demikian, panjang MN dapat ditentukan dengan menggunakan dalil Pythagoras.
Contoh:
Diketahui ∆ KNM kongruen dengan ∆ NLM! Panjang KN = 5 cm, KM = l0 cm, ﮮ NKM = 60'. Tentukan panjang sisi dan sudut yang belum diketahui!
Jawab:
Karena ∆ KNM dan ∆ NLM kongruen maka KM = ML = l0 cm dan NL = KN = 5 cm. Dengan demikian, panjang MN dapat ditentukan dengan menggunakan dalil Pythagoras.
